Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = SA = 2a. Khoảng cách từ đường thẳng AB đến (SCD) bằng bao nhiêu?

3/10

$\frac{a \sqrt{6}}{2}$

$\frac{2 a \sqrt{6}}{3}$

$\frac{a}{2}$

Giải thích

Đáp án đúng là: B

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = SA = 2a. Khoảng cách từ đường thẳng AB đến (SCD) bằng bao nhiêu? (ảnh 1)

Gọi O là tâm của hình vuông.

Vì S.ABCD là hình chóp đều nên SO ^ (ABCD) ⇒ SO ^ CD (1).

Gọi I, M lần lượt là trung điểm cạnh AB và CD⇒ IM ^ CD (2).

Từ (1) và (2), suy ra CD ^ (SIM).

Hạ IH ^ SM tại H.

Vì CD ^ (SIM) ⇒ CD ^ IH mà HI ^ SM ⇒ IH ^ (SCD).

Do đó d(AB, (SCD)) = d(I, (SCD)) = IH.

Vì DSCD đều nên $S M = \frac{2 a \sqrt{3}}{2} = a \sqrt{3}$ .

Có $O M = \frac{1}{2} I M = a$ .

Xét DSOM vuông tại O có $S O = \sqrt{S M^{2} - O M^{2}} = \sqrt{3 a^{2} - a^{2}} = a \sqrt{2}$ .

Vì $S_{Δ S I M} = \frac{1}{2} S O . I M = \frac{1}{2} I H . S M \Rightarrow I H = \frac{S O . I M}{S M} = \frac{a \sqrt{2} .2 a}{a \sqrt{3}} = \frac{2 a \sqrt{6}}{3}$ .