Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Gọi M là trung điểm của SD và α là góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng ( ABCD ) .

Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\).

Do hình chóp \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

Gọi \(H\) là trung điểm \(OD\).

Khi đó \(MH\) là đường trung bình của tam giác \(SOD\) nên \(MH//SO\) \( \Rightarrow MH \bot \left( {ABCD} \right)\)

Do đó góc giữa đường thẳng \(BM\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) là \(\widehat {MBH}\) nên \(\alpha  = \widehat {MBH}\).

\(ABCD\) là hình vuông nên \(BD = AB\sqrt 2  = a\sqrt 2 \)

Ta có \(O\) là trung điểm \(BD,H\) là trung điểm \(OD\) nên \(OD = \frac{{BD}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) và \(BH = \frac{3}{4}BD = \frac{{3a\sqrt 2 }}{4}\)

\({\rm{\Delta }}SOD\) vuông tại \(O\) có \(SO = \sqrt {S{D^2} - O{D^2}}  = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)

MH là đường trung bình của tam giác \(SOD\) nên \(MH = \frac{{SO}}{2} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}\).

\({\rm{\Delta }}MBH\) vuông tại \(H\) có \({\rm{tan}}\widehat {MBH} = \frac{{MH}}{{BH}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{4}}}{{\frac{{3a\sqrt 2 }}{4}}} = \frac{1}{3}\).

Đáp án cần nhập là: \(0,33\).