Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có tam giác SAC đều cạnh a . Bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là:

71/94

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có tam giác $SAC$ đều cạnh $a$. Bán kính $R$ của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là:

$R = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

$R = a$.

$R = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

$R = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.

Giải thích

Giải chi tiết

Ta có: Gọi $O = AC \cap BD \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot AC$.
Do đều cạnh $a$ nên $SO = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.
Gọi $M$ là trung điểm $SA$, trong $\left( {SAC} \right)$ kẻ $MI \bot SA$ tại $I \in SO$.
Khi đó: $IA = IS = IB = IC = ID$ nên $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD \Rightarrow $ bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$ là $R = IS$.

Ta có : $△ M S I ~ △ O S A (g . g) \Rightarrow \frac{M S}{O S} = \frac{S I}{S A} \Rightarrow R = S I = \frac{M S . S A}{O S} = \frac{\frac{a}{2} . a}{\frac{a \sqrt{3}}{2}} = \frac{a \sqrt{3}}{3}$ .

Đáp án cần chọn là: D