Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng a , chiều cao hình chóp bằng a /2 √ 3 . Số đo của góc nhị diện [ S , BC , A ] bằng

35/38

Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\), chiều cao hình chóp bằng \(\frac{a}{{2\sqrt 3 }}\). Số đo của góc nhị diện \(\left[ {S,\,BC,\,A} \right]\) bằng

\[60^\circ .\]

\[75^\circ .\]

\(30^\circ \).

\[45^\circ \].

Giải thích

Đáp án đúng là: C

Gọi \(O\) là tâm của hình vuông \(ABCD\) và \(I\) là trung điểm của \(BC\). Suy ra \(OI \bot BC\).

Vì \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SO = \frac{a}{{2\sqrt 3 }}\).

Do \(SB = SC\) nên tam giác \(SBC\) cân tại \(S\). Suy ra \(SI \bot BC\).

Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\BC \bot SI\\BC \bot OI\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow \widehat {SIO}\] là một góc phẳng của góc nhị diện \[\left[ {S,BC,A} \right]\].

Lại có \(OI\) là đường trung bình tam giác \(ABC\) nên \(OI = \frac{{AB}}{2} = \frac{a}{2}\).

Xét \(\Delta SIO\) vuông tại \(O\), ta có \[\tan \widehat {SIO} = \frac{{SO}}{{OI}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow \widehat {SIO} = 30^\circ \].

Vậy số đo góc nhị diện \[\left[ {S,BC,A} \right]\]bằng 30°.