Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có cạnh đáy bằng 10. M là điểm trên SA sao cho SM /SA = 2 /3 . Một mặt phẳng ( α ) đi qua M song song với AB và CD , cắt hình chóp theo mộ
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \[\left( \alpha \right)\,{\rm{//}}\,AB\] và \[CD\] mà \[A,\,\,B,\,\,C,\,\,D\] đồng phẳng suy ra \[\left( \alpha \right)\,{\rm{//}}\,\left( {ABCD} \right).\] Giả sử \[\left( \alpha \right)\] cắt các mặt bên \[\left( {SAB} \right),\,\,\left( {SBC} \right),\,\,\left( {SCD} \right),\,\,\left( {SDA} \right)\] lần lượt tại các điểm \[N,\,\,P,\,\,Q\] với \[N \in SB,\,\,P \in SC,\,\,Q \in SD\,\] Suy ra \[\left( \alpha \right) \equiv \left( {MNPQ} \right)\,.\] |  |
Khi đó \[MN\,{\rm{//}}\,AB\]\[ \Rightarrow \]\[MN\] là đường trung bình tam giác \[SAB\] \[ \Rightarrow \,\,\,\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{{MN}}{{AB}} = \frac{2}{3}\,.\]
Tương tự, ta có được \[\frac{{NP}}{{BC}} = \frac{{PQ}}{{CD}} = \frac{{QM}}{{DA}} = \frac{2}{3}\] và \[MNPQ\] là hình vuông.
Suy ra \[{S_{MNPQ}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2}{S_{ABCD}} = \frac{4}{9}{S_{ABCD}} = \frac{4}{9}.10.10 = \frac{{400}}{9}.\]