Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a. Một mặt phẳng thay đổi, vuông góc với SO và cắt SO, SA, SB, SC, SD lần lượt tại I, M, N, P, Q. Một hình trụ có một đáy là đường tròn n
Giải thích
Chọn D
Ta có OC=AC2=a22⇒SO=a2−a22=a22.
Do (MNPQ) song song với mặt đáy nên IPOC=SISO⇔IPa22=SIa22⇔IP=SI.
⇒IO=SO−OI=a22−IP.
Khi đó ta có thể tích khối trụ là V=IO.π.IP2=πa22−IPIP2
Cách 1:
Đặt x = IP với 0<x<a22, khi đó:
Xét hàm số fx=a22−xx2 với 0<x<a22
Ta có f'x=xa2−3x2=0⇔x=0lx=a23n
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy maxx∈0;a22fx=fa23=a3227⇒Vmax=πa3227
Cách 2:
Áp dụng bất đẳng thức Am – Gm:
V=12πa2−2IPIP.IP≤12πa2−2IP+IP+IP327=πa3227.
Đẳng thức xảy ra ⇔a2−2IP=IP⇔IP=a23