Cho hình chóp tứ giác đều (ABCD), có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng a căn bậc hai của 2. Tính khoảng cách từ A đến mặt bên (SCD).

6/40

Cho hình chóp tứ giác đều \[\left( {ABCD} \right),\] có cạnh đáy bằng \[a\] và chiều cao bằng $a\sqrt 2 $. Tính khoảng cách từ $A$ đến mặt bên $\left( {SCD} \right)$.

$\frac{{2a\sqrt 2 }}{3}$.

\[\frac{{a\sqrt {10} }}{5}\].

$\frac{{a\sqrt 2 }}{3}$.

$\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Giải thích

$Gọi $M$là trung điểm của \(C (ảnh 1)$

Gọi $M$là trung điểm của $CD$, $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Hạ $OH \bot SM$ (1).

Vì $S.ABCD$ là hình chóp đều nên $SO \bot \left( {ABCD} \right)$ $ \Rightarrow SO \bot CD$.

Khi đó $OM \bot CD$ và $SO \bot CD$ nên $CD \bot \left( {SOM} \right)$$ \Rightarrow CD \bot OH$ (2).

Từ (1) và (2), suy ra $OH \bot \left( {SCD} \right)$.

Khi đó $d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right) = OH$.

Xét $\Delta SOM$vuông tại $O$ có $\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{M^2}}} = \frac{1}{{2{a^2}}} + \frac{4}{{{a^2}}} = \frac{9}{{2{a^2}}} \Rightarrow OH = \frac{{a\sqrt 2 }}{3}$.

Lại có $\frac{{d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right)}}{{d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right)}} = \frac{{AC}}{{OC}} = 2 \Rightarrow d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = 2d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{{2a\sqrt 2 }}{3}$. Chọn A.