Cho hình chóp tam giác S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết AB = √ 3 , BC = 1 và [ S , BC , A ] = 60 ∘ .

Trả lời: 1,5.

Vì \(SA \bot (ABC)\), nên \(A\) là hình chiếu của \(S\) lên mặt phẳng \((ABC)\).

Khi đó, \(AC\) là hình chiếu của \(SC\) lên mặt phẳng \((ABC)\).

Góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \((ABC)\) là góc \(\widehat {SCA}\).

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\). Áp dụng định lý Pytago, ta có: \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{{(\sqrt 3 )}^2} + {1^2}}  = 2\)

- Trong nửa mặt phẳng \((ABC)\), vì tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\), nên \(AB \bot BC\).

- Vì \(SA \bot (ABC)\), suy ra \(SA \bot BC\).

- Từ \(AB \bot BC\) và \(SA \bot BC\), mà \(SA\) và \(AB\) cắt nhau tại \(A\), suy ra \(BC \bot (SAB)\).

- Do \(BC \bot (SAB)\), suy ra \(BC \bot SB\).

- Vậy, \(AB \bot BC\) (trong \((ABC)\)) và \(SB \bot BC\) (trong \((SBC)\)).

- Do đó, góc \(\left[ {S,BC,A} \right]\) là góc \(\widehat {SBA}\).

Theo đề bài, \(\widehat {SBA} = 60^\circ \).

Xét tam giác \(SAB\) vuông tại \(A\) (vì \(SA \bot (ABC)\) nên \(SA \bot AB\)).

Ta có \(\tan (\widehat {SBA}) = \frac{{SA}}{{AB}}\)\( \Rightarrow \sqrt 3  = \frac{{SA}}{{\sqrt 3 }}\)\( \Rightarrow SA = 3\).

Xét tam giác \(SAC\) vuông tại \(A\) (vì \(SA \bot (ABC)\) nên \(SA \bot AC\)).

Ta có \(\tan (\widehat {SCA}) = \frac{{SA}}{{AC}}\)\( = \frac{3}{2} = 1,5\).

Vậy, tan của góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \((ABC)\) là \(1,5\).