Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng 12 cm, độ dài trung đoạn bằng 10 cm. Xét tính đúng, sai của các khẳng định sau:

Đáp án: a) Đúng.                    b) Đúng.           c) Đúng.        d) Sai.

a) Đúng. Gọi\(SH\) là trung đoạn ứng với mặt bên \(SAB\), suy ra \(H\) là trung điểm của \(AB,\) do đó \(AH = HB = \frac{{AB}}{2} = \frac{{12}}{2} = 6\) (cm).

Xét tam giác đều \(ABC\) có \(CH\) là đường trung tuyến (do \(H\) là trung điểm của \(AB\)) suy ra \(CH\) cũng là đường cao của tam giác.

Áp dụng định lí Pythagore cho \(\Delta CHB\) vuông tại \(H\) ta có:

\(C{H^2} + H{B^2} = C{B^2}\) hay \(CH = \sqrt {C{B^2} - H{B^2}} = \sqrt {{{12}^2} - {6^2}} = 6\sqrt 3 \) (cm).

b) Đúng. Diện tích mặt đáy \(ABC\)của hình chóp là:

\(S = \frac{1}{2}CH \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt 3 \cdot 12 = 36\sqrt 3 \) (cm²).

c) Đúng. Gọi\(O\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\), suy ra \(SO\) là đường cao của hình chóp.

Do \(O\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\) nên \(OH = \frac{1}{3}CH = \frac{{6\sqrt 3 }}{3} = 2\sqrt 3 \) (cm).

Áp dụng định lí Pythagore cho \(\Delta SOH\) vuông tại \(O\) ta có:

\(S{O^2} + O{H^2} = S{H^2}\) hay \(SO = \sqrt {S{H^2} - O{H^2}} = \sqrt {{{10}^2} - {{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2}} = 2\sqrt {22} \) (cm).

d) Sai. Thể tích của hình chóp là: \(V = \frac{1}{3}S \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 36\sqrt 3 \cdot 2\sqrt {22} = 24\sqrt {66} \) (cm³).