Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có độ dài cạnh đáy bằng \(a\), cạnh bên bằng

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

Do tam giác \(ABC\) đều tâm \(O\) suy ra \(AO \bot BC\) tại \(M\) là trung điểm của\(BC\).

Ta có:\(AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2},\,MO = \frac{1}{3}AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{6},\,OA = \frac{2}{3}AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Từ giả thiết hình chóp đều suy ra \(SO \bot \left( {ABC} \right)\), \(SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}}  = \sqrt {3{a^2} - \frac{{3{a^2}}}{9}}  = \frac{{2a\sqrt 6 }}{3}\).

Dựng \(OK \bot SM,AH \bot SM \Rightarrow AH{\rm{//}}OK;\,\,\frac{{OK}}{{AH}} = \frac{{OM}}{{AM}} = \frac{1}{3}\).

Có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot SO\\BC \bot AM\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow BC \bot OK\).

Có \(\left\{ \begin{array}{l}OK \bot SM\\OK \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow OK \bot \left( {SBC} \right),\,AH \bot \left( {SBC} \right)\,\,\left( {{\rm{ do }}AH{\rm{//}}OK} \right)\).

Từ đó có \({d_1} = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH = 3OK;\,{d_2} = d\left( {O,\left( {SBC} \right)} \right) = OK\).

Trong tam giác vuông \[OSM\] có đường cao \(OK\) nên:

\(\frac{1}{{O{K^2}}} = \frac{1}{{O{M^2}}} + \frac{1}{{S{O^2}}} = \frac{{36}}{{3{a^2}}} + \frac{9}{{24{a^2}}} = \frac{{99}}{{8{a^2}}} \Rightarrow OK = \frac{{2a\sqrt 2 }}{{33}}\).

Vậy \(d = {d_1} + {d_2} = 4OK = \frac{{8a\sqrt 2 }}{{33}}\).