Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, có độ dài cạnh đáy 30 cm và độ dài trung đoạn 20 cm (như hình vẽ dưới).

Đáp án: a) Sai.                        b) Đúng.           c) Đúng.        d) Sai.

a) Sai. Nửa chu vi đáy của hình chóp là: \(p = \frac{{30 + 30 + 30}}{2} = 45\) (cm).

Diện tích xung quanh của hình chóp là: \({S_{xq}} = p \cdot d = 45 \cdot 20 = 900\) (cm²).

b) Đúng. Ta có \(SO\) là chiều cao và \(SH\) là trung đoạn của hình chóp nên \(O\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\) và \(H\) là trung điểm của \(AB\).

Do đó, \(AH = HB = \frac{{AB}}{2} = 15\)(cm).

Xét \(\Delta ABC\) có \(CH\) là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác. Suy ra \(CH \bot AB\).

Áp dụng định lí Pythagore cho \(\Delta AHC\) vuông tại \(H\) ta được:

\(A{H^2} + H{C^2} = A{C^2}\) suy ra \(HC = \sqrt {A{C^2} - A{H^2}} = \sqrt {{{30}^2} - {{15}^2}} = 15\sqrt 3 \) (cm).

Diện tích đáy của hình chóp (làm tròn đến hàng phần mười) là:

\(S = \frac{1}{2}AB \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 15\sqrt 3 = 225\sqrt 3 \approx 389,7\) (cm²).

c) Đúng. Xét \(\Delta ABC\) có \(O\) là trọng tâm, suy ra \(OH = \frac{1}{3}CH = \frac{1}{3} \cdot 15\sqrt 3 = 5\sqrt 3 \) (cm).

Áp dụng định lí Pythagore cho \(\Delta SHO\) vuông tại \(O\) ta cũng tính được

\(SO = \sqrt {S{H^2} - O{H^2}} = \sqrt {{{20}^2} - {{\left( {5\sqrt 3 } \right)}^2}} = \sqrt {325} = 5\sqrt {13} \approx 18,03\) (cm).

d) Sai. Thể tích của hình chóp là: \(V = \frac{1}{3}S \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 225\sqrt 3 \cdot \sqrt {325} \approx 2341,87\)(cm³).