Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, gọi O là tâm đáy và SO = a căn bậc hai 3 chia 3. * Thể tích khối chóp tam giác đều S.ABC bằng...

Đáp án: Thể tích khối chóp là \(\frac{{{a^3}}}{{12}}\); Khoảng cách là \(\frac{{a\sqrt 6 }}{6}\)

Phương pháp giải.

Sử dụng công thức tính thể tích và tính chất của tam giác vuông để tìm khoảng cách.

Lời giải chi tiết.

Diện tích đáy tam giác đều cạnh a là \({S_{\Delta ABC}} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}{a^2}\).

Thể tích khối chóp S.ABC là \(V = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}} \cdot SO = \frac{1}{3} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{4}{a^2} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{3} = \frac{{{a^3}}}{{12}}\).

Gọi I là trung điểm BC. Dựng \(OH \bot SA\) tại H, suy ra \(d(O,SA) = OH\).

Ta có. \(OA = \frac{2}{3}AI = \frac{2}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3} = SO\).

Suy ra \(\Delta SOA\) vuông cân tại O \( \Rightarrow OH = \frac{1}{2}SA = \frac{1}{2} \cdot SO \cdot \sqrt 2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{3} \cdot \sqrt 2 = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}\).

Vậy \(d(O,SA) = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}\).