Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có cạnh đáy bằng \(a căn bậc hai 3 \), cạnh bên bằng \(2a\).

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

 

Gọi \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều \(ABC(O\) thuộc \(AM)\). Vì \(S.ABC\) là hình chóp tam giác đều nên \(SO \bot (ABC)\).

Ta có \(OA\) là hình chiếu của \(SA\) trên mặt phẳng \((ABC)\).

Suy ra \((SA,(ABC)) = (SA,OA) = \widehat {SAO}\).

Ta có: \(OA = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3  \cdot \sqrt 3 }}{2} = a\).

Tam giác \(SOA\) vuông tại \(O\) có: cosSAO^=a2a=12⇒SAO^=60°

Vậy (SA,(ABC))=SAO^=60°

Ta có: \(OM\) là hình chiếu của \(SM\) trên \((AB\dot C)\) nên

\((SM,(ABC)) = (SM,OM) = \widehat {SMO}{\rm{. }}\)

Ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{OM}&{ = \frac{1}{3}AM = \frac{1}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3  \cdot \sqrt 3 }}{2} = \frac{a}{2}}\\{SO}&{ = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}} }\\{}&{ = \sqrt {{{(2a)}^2} - {a^2}}  = a\sqrt 3 .}\end{array}\)

Tam giác \(SMO\) vuông tại \(O\) có:

tanSMO^=SOOM=a3a2=23⇒SMO^≈73,9°.

Vậy (SM,(ABC))=SMO^≈73,9°.