Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a

102/235

Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có cạnh đáy bằng \(3a\), cạnh bên bằng \(2a\). Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC,M\) là trung điểm của \(SC\). Khoảng cách từ \(M\) đến mặt phẳng \(\left( {SAG} \right)\).

\(\frac{{3a}}{2}\)

\(\frac{{3a}}{4}\)

\(\frac{a}{4}\)

\(\frac{a}{2}\)

Giải thích

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Sử dụng công thức lượng giác tính \({\rm{sin}}2\alpha \).

Thay các giá trị đã có để tính khoảng cách \(d\).

Lời giải

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a (ảnh 1)

Vì \(SC \cap \left( {SAG} \right) = S\) nên \(\frac{{d\left( {M,\left( {SAG} \right)} \right)}}{{d\left( {C,\left( {SAG} \right)} \right)}} = \frac{{MS}}{{CS}} = \frac{1}{2}\)

\( \Rightarrow d\left( {M,\left( {SAG} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {C,\left( {SAG} \right)} \right)\)

Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\).

Ta có: \(CB \bot AI\) và \(CB \bot SG \Rightarrow CB \bot \left( {SAG} \right)\) và \(CB \cap \left( {SAG} \right) = I\).

Do đó \(d\left( {C,\left( {SAG} \right)} \right) = CI = \frac{1}{2}BC = \frac{{3a}}{2}\).

Vậy \(d\left( {M,\left( {SAG} \right)} \right) = \frac{{3a}}{4}\).