Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh bên đều bằng 6cm, độ dài cạnh đáy x(cm). Tìm x để diện tích xung quanh của hình chóp đều đó là lớn nhất.

Kẻ \(SH\) là đường cao của tam giác \(SAB\).

Xét \(\Delta SAB\) cân tại \(S\) (Do \(S.ABC\) là hình chóp tam giác đều) có \(SH\) là đường cao (gt)

\( \Rightarrow SH\) cũng là đường trung tuyến của \(\Delta SAB\) (tính chất tam giác cân)

\( \Rightarrow H\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) (tính chất)

\( \Rightarrow HA = \frac{1}{2}AB = \frac{x}{2}\,\left( {cm} \right)\).

Có \(SH \bot AB\) tại \(H\) (Do \(SH\) là đường cao của tam giác \(SAB\)) \( \Rightarrow \widehat {SHA} = 90^\circ \).

Áp dụng định lí pythagore trong tam giác \(SHA\) vuông tại \(H\)(Do \(\widehat {SHA} = 90^\circ \)), ta có:

\(S{A^2} = S{H^2} + A{H^2}\)

Thay số: \({6^2} = S{H^2} + {\left( {\frac{x}{2}} \right)^2}\)

\(S{H^2} = 36 - {\left( {\frac{x}{2}} \right)^2}\) (Điều kiện: \(x < 12\))

\( \Rightarrow SH = \sqrt {36 - {{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^2}} \) (Do \(SH > 0\))

Diện tích xung quanh của hình chóp là:

\({S_{xq}} = p.d = \frac{{x + x + x}}{2}.\sqrt {36 - {{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^2}} \) \( = \frac{{3x}}{2}.\sqrt {36 - {{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^2}} \) \(\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).

Có \({S_{xq}} = \frac{{3x}}{2}.\sqrt {36 - {{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^2}} \) \( = \frac{{3x}}{2}.\sqrt {\frac{{144 - {x^2}}}{4}} \) \( = \frac{{3x}}{4}.\sqrt {144 - {x^2}} \)\[ = \frac{3}{4}.\sqrt {{x^2}.\left( {144 - {x^2}} \right)} \]

\[ = \frac{3}{4}.\sqrt {144{x^2} - {x^4}} \] \[ = \frac{3}{4}.\sqrt { - {x^4} + 144{x^2} - 5184 + 5184} \] \[ = \frac{3}{4}.\sqrt { - \left( {{x^4} - 144{x^2} + 5184} \right) + 5184} \]

\[ = \frac{3}{4}.\sqrt { - {{\left( {{x^2} - 72} \right)}^2} + 5184} \].

Vì \[{\left( {{x^2} - 72} \right)^2} \ge 0\] với mọi \[x > 0\] nên \[ - {\left( {{x^2} - 72} \right)^2} \le 0 \Rightarrow - {\left( {{x^2} - 72} \right)^2} + 5184 \le 0\]

\[ \Rightarrow \sqrt { - {{\left( {{x^2} - 72} \right)}^2} + 5184} \le 72\]

\[ \Rightarrow \frac{3}{4}.\sqrt { - {{\left( {{x^2} - 72} \right)}^2} + 5184} \le 54\]

\[ \Rightarrow {S_{xq}} \le 54\]

Dấu xảy ra khi \[{x^2} - 72 = 0\]

\[{x^2} = 72\]

\[x = \sqrt {72} \] (Do \[x > 0\])

\[x = 6\sqrt 2 \] (thỏa mãn).

Vậy \[x = 6\sqrt 2 \,\left( {{\rm{cm}}} \right)\] thì hình chóp có diện tích xung quanh lớn nhất bằng \[54\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\].