Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a căn 5/12 . Tính số đo góc nhị diện [S, BC, A].

Gọi G là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC).

Vì S.ABC là hình chóp tam giác đều nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Gọi AG cắt BC tại D mà ABC là tam giác đều nên AD ^ BC.

Mà SG ^ (ABC) nên SG ^ BC.

Vì AD ^ BC và SG ^ BC nên BC ^ (SAD), suy ra BC ^ SD.

Vì AD ^ BC và BC ^ SD nên SDA^ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [S, BC, A].

Vì ABC là tam giác đều cạnh a, AD là đường cao nên AD=a32.

Suy ra DG=13AD=13⋅a32=a36.

Xét tam giác ABC có AD là trung tuyến nên D là trung điểm của BC, do đó BD=DC=BC2=a2.

Xét tam giác SBD vuông tại D có SD=SB2−BD2=5a212−a24=a6.

Xét tam giác SGD vuông tại G có cosSDA^=cosSDG^=GDSD=a36a6=22

⇒SDG^=45°.

Vậy số đo góc nhị diện [S, BC, A] là 45°.