Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và góc giữa SC với mặt phẳng bằng (SAB) bằng . Gọi M là điểm di động trên cạnh CD và H là hình chiếu vuôn

Đáp án D

Góc giữa SC và (SBD là CSB^⇒CSB^=30o Ta có tanCSB^=BCSB⇒SB=a3; SA=SB2−AB2=a2 Đặt CM=x (với 0≤x≤a)⇒DM=a−x Ta có BM⊥SHBM⊥SA⇒BM⊥(SAH)⇒BM⊥AH Ta có: SΔBMC=12BC.CM=12ax;

SΔADM=12AD.DM=12aa−xSΔABM=SABCD−SΔAMC−SΔADM=a22

Ta có: SΔABM=12AH.BM⇒AH=a2a2+x2, BH=AB2−AH2=axa2+x2

Thể tích của khối chóp S. ABH  là:  V=13SA.SΔABH=13SA.12BH.AH

=16a2.a2a2+x2.axa2+x2=26a4.xa2+x2

Xét hàm số fx=xa2+x2 với x∈[0;a]

Ta có f'x=a2−x2a2+x22;f'x=0⇒x=a

Trên đoạn 0;a ta có f'x≥0,∀x∈[0;a]

Vậy giá trị lớn nhất của V tại x=a⇒Vmax=212a3.

Ngoài ra, ta có thể sử dụng bất đẳng thức Côsi để tìm Vmax, thật vậy ta có: V=26a4.xa2+x2≤26a4.12a=2a312.