Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCD là hình vuông có độ dài đường chéo bằng

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Gắn hệ trục tọa độ \(Oxyz\)

Lời giải

Gọi \(I = AC \cap BD\).

Hình vuông \(ABCD\) có độ dài đường chéo bằng \(a\sqrt 2 \) suy ra hình vuông đó có cạnh bằng \(a\).

Ta có \({\rm{tan}}\alpha = {\rm{tan}}\widehat {SIA} = \frac{{SA}}{{IA}} \Leftrightarrow SA = a\)

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ ta có \(A\left( {0;0;0} \right),B\left( {a;0;0} \right),C\left( {a;a;0} \right),S\left( {0;0;a} \right)\).

Khi đó \(\overrightarrow {SA} = \left( {0;0; - a} \right);\overrightarrow {SC} = \left( {a;a; - a} \right);\overrightarrow {SC} = \left( {a;0; - a} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) có vec tơ pháp tuyến \({n_1} = \left( { - 1;1;0} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) có vec tơ pháp tuyến \({n_2} = \left( {1;0;1} \right)\).

Suy ra \({\rm{cos}}\left( {\widehat {\left( {SAC} \right);\left( {SBC} \right)}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \left( {\widehat {\left( {SAC} \right);\left( {SBC} \right)}} \right) = {60^ \circ }\).