Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCD là hình chữ nhật

10/235

Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình chữ nhật \(AB = a\) và \(AD = 2a\), cạnh bên \[SA\] vuông góc với đáy. Biết góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \(60^\circ .\) Thể tích \[V\] của khối chóp \[S.ABCD\] là

\(V = \frac{{{a^3}\sqrt {15} }}{{15}}.\)

\(V = \frac{{{a^3}\sqrt {15} }}{6}.\)

\(V = \frac{{4{a^3}\sqrt {15} }}{{15}}.\)

\(V = \frac{{{a^3}\sqrt {15} }}{3}.\)

Giải thích

Kẻ \[AE \bot BD,\,\,\left( {\left( {SBD} \right),\,\,\left( {ABCD} \right)} \right) = \widehat {SEA} = 60^\circ .\]

Xét \(\Delta BAD\) vuông tại \(A\) ta có:

\(AE = \frac{{AD \cdot AB}}{{\sqrt {A{D^2} + A{B^2}} }} = \frac{{2{a^2}}}{{a\sqrt 5 }} = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5}{\rm{. }}\)

Xét \(\Delta SAE\) vuông tại \(A\) có

\(SA = AE \cdot \tan 60^\circ = \frac{{2a\sqrt 5 }}{5} \cdot \sqrt 3 = \frac{{2a\sqrt {15} }}{5}\).

Khi đó thể tích \[S.ABCD\] là:\(V = \frac{1}{3}SA \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{2a\sqrt {15} }}{5} \cdot 2{a^2} = \frac{{4{a^3}\sqrt {15} }}{{15}}.\)Chọn C.

Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCD là hình chữ nhật (ảnh 1)