Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và M là trung điểm cạnh SC. Gọi K là giao điểm của SD với mặt phẳng (AGM)

Phương pháp giải

Sử dụng quan hệ song song và định lý Thales để tính tỉ lệ.

Giải chi tiết

Gọi \(O = AC \cap BD,{\mkern 1mu} I = AM \cap SO.\)

Trong mặt phẳng (SBD), kéo dài GI cắt SD tại \(K \Rightarrow K = SD \cap (AMG).\)

Tam giác SAC có SO và AM là hai đường trung tuyến.

Suy ra I là trọng tâm của tam giác SAC nên ta có \(\frac{{OI}}{{OS}} = \frac{1}{3}.{\rm{ }}\) (1)

Mặt khác, G là trọng tâm tam giác ABC nên có \(\frac{{OG}}{{OB}} = \frac{1}{3}.{\rm{ }}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{OI}}{{OS}} = \frac{{OG}}{{OB}} \Rightarrow \frac{{GI}}{{SB}} = \frac{{GK}}{{SB}} \Rightarrow \frac{{KD}}{{KS}} = \frac{{GD}}{{GB}}.\)

Ta có DO = BO = 3GO \( \Rightarrow GD = 4GO,\;GB = 2GO.\)

Vậy   \(\frac{{GD}}{{GB}} = \frac{{4GO}}{{2GO}} = 2 \Rightarrow \frac{{KS}}{{KD}} = \frac{1}{2}.\)

Đáp án cần chọn là: B