Cho hình chóp S.ABCD với M là một điểm nằm trên cạnh SC , N là một điểm trên cạnh BC . Gọi O = AC ∩ BD và K = AN ∩ CD . Khi đó:

Hướng dẫn giải

a) Đ

b) Đ

c) Đ

d) Đ

 

a) Trong mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\], gọi \[O = AC \cap BD\].

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\\S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow SO = \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\].

Vậy \[SO\] là giao tuyến của hai mặt phẳng \[\left( {SAC} \right)\] và \[\left( {SBD} \right)\].

b) Trong mặt phẳng \[\left( {SAC} \right)\], gọi \[P = AM \cap SO\].

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}P \in AM\\P \in SO,{\rm{ }}SO \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow P = AM \cap \left( {SBD} \right).\]

c) Trong mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\], gọi \[K = AN \cap CD\].

Khi đó: \[\left\{ \begin{array}{l}K \in AN,{\rm{ }}AN \subset \left( {AMN} \right)\\K \in CD,{\rm{ }}CD \subset \left( {SCD} \right)\end{array} \right.\] \[ \Rightarrow K \in \left( {AMN} \right) \cap \left( {SCD} \right).\]

Mặt khác, \[\left\{ \begin{array}{l}M \in SC,{\rm{ SC}} \subset \left( {SCD} \right)\\M \in \left( {AMN} \right)\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow M \in \left( {AMN} \right) \cap \left( {SCD} \right).\]

Vậy \[KM = \left( {AMN} \right) \cap \left( {SBD} \right).\]

d) Trong mặt phẳng \[\left( {SCD} \right)\], gọi \[H = KM \cap SD\].

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}H \in KM,\,\,KM \subset \left( {AMN} \right)\\H \in SD\end{array} \right.\]\[ \Rightarrow H \in SD \cap \left( {ANM} \right)\].

Do đó, giao điểm của đường thẳng \[SD\] và mặt phẳng \[\left( {AMN} \right)\] là điểm nằm trên cạnh \[KM.\]