Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB,BC,CD

38/235

Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên $SAD$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SB,BC,CD$.

Tính thể tích khối tứ diện $CMNP$.

$3{a^3}\sqrt 3 $

$\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{96}}$

$\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{96}}$

${a^3}\sqrt {96} $

Giải thích

Phương pháp giải

Tỉ số thể tích.

Giải chi tiết

$Cho hình chóp $S.ABCD$đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên $SAD$ là tam giác đều (ảnh 1)$

$\frac{{{V_{CMNP}}}}{{{V_{CMBD}}}} = \frac{{CN}}{{CB}} \cdot \frac{{CP}}{{CD}} = \frac{1}{4}\quad (*)$, $\frac{{{V_{CMBD}}}}{{{V_{SCBD}}}} = \frac{{BM}}{{BS}} = \frac{1}{2}\quad (**)$

Lấy (*) và (**) ta được:

$\frac{{{V_{CMNP}}}}{{{V_{SBCD}}}} = \frac{1}{8} \Rightarrow {V_{CMNP}} = \frac{1}{8}{V_{SBCD}}$

Gọi H là trung điểm $AD$$ \Rightarrow SH \bot AD$ và $(SAD) \bot (ABCD)$ nên $SH \bot (ABCD)$.

Do đó:${V_{SBCD}} = \frac{1}{3} \cdot {S_{ABCD}} \cdot SH$

Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên:${S_{ABCD}} = {a^2}$

Tam giác SAD đều cạnh a nên:$SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Suy ra: ${V_{SBCD}} = \frac{1}{3} \cdot {a^2} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}$

Vậy: ${V_{CMNP}} = \frac{1}{8} \cdot \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{96}}$

Đáp án cần chọn là: B

Mở rộng:

Công thức tổng quát:

${V_{tudien}} = {V_{chop}} \cdot \frac{{{S_{daycon}}}}{{{S_{daylon}}}} \cdot \frac{{{h_{con}}}}{{{h_{lon}}}}$

Trung điểm → tỉ số 1/2, ưu tiên dùng tỉ số.