Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thang vuông tại A và B

24/235

Cho hình chóp \(S.ABCD\), đáy là hình thang vuông tại \(A\) và \(B\), biết \(AB = BC = a\), \(AD = 2a\), \(SA = a\sqrt 3 \) và \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(SB\), \(SA\). Khoảng cách từ \(M\) đến mặt phẳng \(\left( {NCD} \right)\) theo \(a\) bằng:

\(\frac{{a\sqrt {66} }}{{22}}\).

\(2a\sqrt {66} \).

\(\frac{{a\sqrt {66} }}{{11}}\).

\(\frac{{a\sqrt {66} }}{{44}}\).

Giải thích

Gọi \(I\) là giao điểm của \(AB\) và \(CD\), vì \(AD = 2BC\) nên \(B\) là trung điểm của \(AI\). Gọi \(G\) là giao điểm của \(SB\) và \(IN\), dễ thấy \(G\) là trọng tâm tam giác \(SIA\). Do đó, \(SG = \frac{2}{3}SB = \frac{4}{3}SM \Rightarrow MG = \frac{1}{4}SG\), mà \(G \in \left( {NCD} \right)\) nên\[d\left( {M,\,\left( {NCD} \right)} \right) = \frac{1}{4}d\left( {S,\,\left( {NCD} \right)} \right)\]\[ = \frac{1}{4}d\left( {A,\left( {NCD} \right)} \right)\].

Lại có, \(CD \bot AC;\,CD \bot SA \Rightarrow CD \bot \left( {SAC} \right)\). Gọi \(K\) là hình chiếu của \(A\) lên \(NC\) thì ta có:

\[d\left( {A,\,\left( {NCD} \right)} \right) = AK = \frac{{AN \cdot AC}}{{\sqrt {A{N^2} + A{C^2}} }}\,\,\,\left( * \right)\].

Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thang vuông tại A và B (ảnh 1)

Lại có \(AN = \frac{{a\sqrt 3 }}{2};\,AC = a\sqrt 2 \) thay vào \(\left( * \right)\) ta được \[AK = \frac{{a\sqrt {66} }}{{11}}\].

Vậy \[d\left( {M,\,\left( {NCD} \right)} \right) = \frac{1}{4}AK = \frac{{a\sqrt {66} }}{{44}}\]. Chọn D.