Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành, M là một điểm di động trên cạnh SC

Giả sử \(AM\) cắt \(SO\) tại \(I\).

\(\left( \alpha \right)\) qua \(AM\) và song song với \(BD\), nên \(\left( \alpha \right)\) cắt mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) theo giao tuyến \(HK\) qua \(I\) và \(HK{\rm{//}}BD\) với \(H\) trên \(SB\) và \(K\) trên \(SD\).

\(\frac{{SB}}{{SH}} = \frac{{SD}}{{SK}} = \frac{{SO}}{{SI}} \Rightarrow \frac{{SB}}{{SH}} + \frac{{SD}}{{SK}} = \frac{{2SO}}{{SI}}\)

Dựng \(OL{\rm{//}}AM\), ta có \(L\) là trung điểm \(CM\) (vì \[O\] là trung điểm của \(\left. {AC} \right)\)\( \Rightarrow LC = ML\).

Ta có: \(\frac{{SO}}{{SI}} = \frac{{SL}}{{SM}} = \frac{{SC - LC}}{{SM}} = \frac{{SC}}{{SM}} - \frac{{LC}}{{SM}}\).

\( \Rightarrow \frac{{SO}}{{SI}} = \frac{{SC}}{{SM}} - \frac{{ML}}{{SM}}\) (vì \(\left. {LC = ML} \right)\).

Mà \(\frac{{ML}}{{MS}} = \frac{{OI}}{{SI}} \Rightarrow \frac{{SO}}{{SI}} = \frac{{SL}}{{SM}} = \frac{{SC}}{{SM}} - \frac{{IO}}{{SI}} \Rightarrow \frac{{SO}}{{SI}} = \frac{{SC}}{{SM}} - \frac{{SO - SI}}{{SI}} \Rightarrow \frac{{2SO}}{{SI}} - \frac{{SC}}{{SM}} = 1\).

Vậy \(\frac{{SB}}{{SH}} + \frac{{SD}}{{SK}} - \frac{{SC}}{{SM}} = 2\frac{{SO}}{{SI}} - \frac{{SC}}{{SM}} = 1\).