Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành. Gọi G là trọng tâm tam giác SCD. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (AGC) và mặt phẳng (SBC).

Xét hai mặt phẳng \(\left( {AGC} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\):

Tìm điểm chung thứ nhất: Ta thấy ngay điểm \(C\) đều thuộc cả hai mặt phẳng \(\left( {AGC} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\), tức là \(C \in \left( {AGC} \right) \cap \left( {SBC} \right)\).

Tìm điểm chung thứ hai:

Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(SD\). Do \(G\) là trọng tâm của tam giác \(SCD\), nên điểm \(G\) phải thuộc đường trung tuyến \(CM\), kéo theo \(G \in \left( {ACM} \right)\). Vậy mặt phẳng \(\left( {AGC} \right)\) thực chất chính là mặt phẳng \(\left( {AMC} \right)\).

Bây giờ việc tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {AGC} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) quy về tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {AMC} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\).

Ta tìm giao điểm của \(AM\) với mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\):

\(ABCD\) là hình bình hành nên \(AD{\rm{//}}BC\). Mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) có chung điểm \(S\) và chứa hai đường thẳng song song \(AD{\rm{//}}BC\), nên giao tuyến của chúng là đường thẳng \(Sx\) song song với \(AD\) và \(BC\).

Trong mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\), kéo dài \(AM\) cắt đường thẳng giao tuyến \(Sx\) tại điểm \(P\).

Vì \(P \in Sx \subset \left( {SBC} \right)\) nên \(P \in \left( {SBC} \right)\). Mặt khác \(P \in AM \subset \left( {AMC} \right) \equiv \left( {AGC} \right)\).

Do đó \(P\) là điểm chung thứ hai của hai mặ phẳng \(\left( {AGC} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\).

Kết luận: Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {AGC} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) là đường thẳng \(CP\).