Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng 4 cm. AC và BD cắt nhau tại O, vuông cân tại S. Lấy điểm I nằm trên SO sao cho SI = 2IO. Đường thẳng IB cắt mặt phẳng (SAD) tại điểm

18/21

Cho hình chóp \(S.ABCD\), đáy \(ABCD\) là hình vuông có cạnh bằng \(4{\rm{\;cm}}\). \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại \(O\), vuông cân tại \(S\). Lấy điểm \(I\) nằm trên \(SO\) sao cho \(SI = 2IO\). Đường thẳng \(IB\) cắt mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) tại điểm \(M\). Độ dài của \(MD\) là bao nhiêu centimet?

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Trong mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\), đường thẳng \(IB\) giao với cạnh bên \(SD\) tại điểm \(M\). Do \(SD \subset \left( {SAD} \right)\) nên \(M\) chính là giao điểm của \(IB\) và \(\left( {SAD} \right)\).

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác \(SOD\) với 3 điểm thẳng hàng \(I,B,M\):

\(\frac{{IS}}{{IO}} \cdot \frac{{BO}}{{BD}} \cdot \frac{{MD}}{{MS}} = 1\)

Theo bài ra: \(\frac{{IS}}{{IO}} = 2\). Do \(O\) là tâm hình vuông nên \(O\) là trung điểm cạnh \(BD \Rightarrow \frac{{BO}}{{BD}} = \frac{1}{2}\).

Thay vào đẳng thức Menelaus: \(2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{{MD}}{{MS}} = 1 \Rightarrow \frac{{MD}}{{MS}} = 1 \Rightarrow M\) là trung điểm của \(SD\).

Mặt khác, vuông cân tại \(S\) nên trung tuyến \(SO = \frac{1}{2}BD\). Đường chéo hình vuông \(BD = 4\sqrt 2 {\rm{\;cm}} \Rightarrow SD = \frac{{BD}}{{\sqrt 2 }} = 4{\rm{\;cm}}\).

Vì \(M\) là trung điểm \(SD\) nên độ dài đoạn \(MD = \frac{{SD}}{2} = \frac{4}{2} = 2{\rm{\;cm}}\).

Đáp số: 2.