Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang (AB // CD). Gọi E và F lần lượt là trọng tâm của … và … a) Lấy M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC. Chứng minh rằng EF // MN. Từ đó chứng minh

21/21

Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình thang ($AB{\rm{//}}CD$). Gọi $E$ và $F$ lần lượt là trọng tâm của và .

a) Lấy $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AD,BC$. Chứng minh rằng $EF{\rm{//}}MN$. Từ đó chứng minh $EF{\rm{//}}AB$.

b) Xác định giao tuyến $d$ của mặt phẳng $\left( {AEF} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$. Chứng minh $d{\rm{//}}EF$.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Vậy góc khán đài A có tất cả $10050$ ghế. (ảnh 1)$

a) Vì $E$ là trọng tâm với đường trung tuyến $SM$ ($M$ là trung điểm $AD$) nên $E \in SM$ và thỏa mãn $\frac{{SE}}{{SM}} = \frac{2}{3}$.

Tương tự, $F$ là trọng tâm với đường trung tuyến $SN$ ($N$ là trung điểm $BC$) nên $F \in SN$ và thỏa mãn $\frac{{SF}}{{SN}} = \frac{2}{3}$.

Xét tam giác $SMN$, ta có: $\frac{{SE}}{{SM}} = \frac{{SF}}{{SN}} = \frac{2}{3}$.

Theo định lý Thales đảo trong tam giác $SMN$, suy ra $EF{\rm{//}}MN$.

Mặt khác, trong hình thang $ABCD$, $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của hai cạnh bên $AD$ và $BC$ nên $MN$ là đường trung bình của hình thang $ \Rightarrow MN{\rm{//}}AB$.

Từ hệ thức bắc cầu $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{EF{\rm{//}}MN}\\{MN{\rm{//}}AB}\end{array} \Rightarrow EF{\rm{//}}AB} \right.$.

b) Trong $\Delta SAD$, vì $E$ là trọng tâm nên đường thẳng $AE$ chính là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh $A$.

Gọi $P$ là trung điểm của $SD$. Khi đó, $P$ phải thuộc đường thẳng $AE$.

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{P \in AE \subset \left( {AEF} \right)}\\{P \in SD \subset \left( {SCD} \right)}\end{array} \Rightarrow P \in \left( {AEF} \right) \cap \left( {SCD} \right)} \right.$.

Vậy $P$ là một điểm chung của hai mặt phẳng $\left( {AEF} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$.

Xét hai mặt phẳng $\left( {AEF} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$, ta có:

$P$ là điểm chung của hai mặt phẳng.

Mặt phẳng $\left( {AEF} \right)$ chứa đường thẳng $EF$.

Mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$ chứa đường thẳng $CD$.

Mà $EF{\rm{//}}CD$ (vì cùng song song với $AB$).

Theo định lí về giao tuyến của hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song: Giao tuyến $d$ của $\left( {AEF} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$ sẽ là đường thẳng đi qua điểm chung $P$ và song song với cả $EF$ và $CD$.

Kết luận: Giao tuyến $d$ là đường thẳng qua $P$ (trung điểm $SD$) và song song với $CD$ (đường thẳng $d$ này cũng chính là đường trung bình $PQ$ của $\Delta SCD$, với $Q$ là trung điểm của $SC$).

Theo cách xác định giao tuyến ở trên, đường thẳng $d$ được dựng song song với $CD$ và $EF$.

Do đó, ta hiển nhiên có: $d{\rm{//}}EF$.