Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 3,BC = 4

24/235

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật với \(AB = 3,BC = 4\), tam giác SAC nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, \(d(C;SA) = 4\). Tính côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((SAC)\).

\(\frac{{5\sqrt {34} }}{{34}}\).

\(\frac{{3\sqrt {17} }}{{17}}\).

\(\frac{{2\sqrt {34} }}{{17}}\).

\(\frac{{3\sqrt {34} }}{{34}}\).

Giải thích

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng.

Lời giải

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 3,BC = 4 (ảnh 1)

Ta có \((SAC) \bot (ABCD)\)

Kẻ \(BH \bot AC\,\,(H \in AC) \Rightarrow BH \bot (SAC)\).

Kẻ \(HE \bot SA\,\,(E \in SA) \Rightarrow BH \bot HE,BE \bot SA\).

Suy ra góc tạo bởi hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((SAC)\) bẳng góc \(\widehat {BEH}\).

Xét tam giác ABC vuông tại \(B\) có \(BH \bot AC\,\,(H \in AC)\).

Suy ra \(BH = \frac{{BA.BC}}{{\sqrt {B{A^2} + B{C^2}} }} = \frac{{12}}{5}\).

\(AH.AC = A{B^2} \Rightarrow \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{A{B^2}}}{{A{C^2}}} = \frac{9}{{25}} \Rightarrow \frac{{d(H;SA)}}{{d(C;SA)}} = \frac{9}{{25}} \Rightarrow \frac{{HE}}{4} = \frac{9}{{25}}\)

\( \Rightarrow HE = \frac{{36}}{{25}}\)

Xét tam giác BHE vuông tại \(H\)có

\(\tan \widehat {BEH} = \frac{{BH}}{{HE}} = \frac{5}{3} \Rightarrow \cos \widehat {BEH} = \frac{1}{{\sqrt {1 + {{\tan }^2}\widehat {BEH}} }} = \frac{{3\sqrt {34} }}{{34}}\).