Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a; BC = 2a. Cạnh bên SA = 3a và vuông góc với mặt đáy. Gọi O là tâm của đáy. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Sai. Trong hình chóp \(S.ABCD\) có: \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {SB} \).

b) Đúng. Vì \(O\) là trung điểm của \(AC\) nên \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = 2\overrightarrow {SO} \) (1).

Tương tự \(O\) cũng là trung điểm của \(BD\) nên \(\overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} = 2\overrightarrow {SO} \) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} \).

c) Sai. Ta có: \(\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SD} = SA.SD.{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SD} } \right) = 3a.a\sqrt {10} .\frac{{3\sqrt {10} }}{{10}} = 9{a^2}\).

d) Sai. Ta có: \(AC = \sqrt {A{D^2} + D{C^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} + {a^2}} = a\sqrt 5 \).

Ta có: \(\left| {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {SC} } \right| = SC = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 5 } \right)}^2} + {{\left( {3a} \right)}^2}} = a\sqrt {14} \).