Cho hình chóp S.ABCD có tứ giác ABCD là hình thang cạnh đáy AD,BC
27/34
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có tứ giác \(ABCD\) là hình thang cạnh đáy \(AD,\,BC\)thỏa mãn \(AD = 2BC\). Gọi \(M,N,P\) lần lượt thuộc cạnh \(SA,SB,SC\) sao cho \(MA = MS;\,NS = 3NB;\,PS = 2PC\) (tham khảo hình vẽ sau).
Mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) cắt \(SD\) tại \(Q\). Biết \(\frac{{QS}}{{QD}} = \frac{a}{b}\) (với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản). Tính \(S = {a^2} + 2{b^2}\)
\(S = 34\).
\(S = 134\).
\(S = 41\).
\(S = 107\).
Chọn C
Gọi \[E = MN \cap AB\] ta có \(\frac{{EB}}{{EA}}.\frac{{MA}}{{MS}}.\frac{{NS}}{{NB}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{EB}}{{EA}}.\frac{1}{1}.\frac{3}{1} = 1 \Leftrightarrow \frac{{EB}}{{EA}} = \frac{1}{3}\).
Gọi \[F = NP \cap BC\] ta có \(\frac{{FB}}{{FC}}.\frac{{PC}}{{PS}}.\frac{{NS}}{{NB}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{FB}}{{FC}}.\frac{1}{2}.\frac{3}{1} = 1 \Leftrightarrow \frac{{FB}}{{FC}} = \frac{2}{3} \Rightarrow FB = AD\).
Gọi \[K = EF \cap AD \Rightarrow Q = KM \cap SD\].
Do \(FB{\rm{//}}AK \Rightarrow \frac{{AK}}{{FB}} = \frac{{EA}}{{EB}} = 3 \Rightarrow AK = 3FB = 3AD\).
Mặt khác \(\frac{{KA}}{{KD}}.\frac{{QD}}{{QS}}.\frac{{MS}}{{MA}} = 1 \Leftrightarrow \frac{6}{8}.\frac{{QD}}{{QS}}.\frac{1}{1} = 1 \Leftrightarrow \frac{{QD}}{{QS}} = \frac{4}{3} \Leftrightarrow \frac{{QS}}{{QD}} = \frac{3}{4} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 4\end{array} \right.\)
Suy ra \(S = {a^2} + 2{b^2} = 9 + 2.16 = 41\).