Cho hình chóp S.ABCD có SC=x( 0<x< a căn3) các cạnh còn lại đều bằng a. Biết rằng thể tích khối chóp S.ABCD lớn nhất khi và chỉ khi x=(a căn m)/ n( m,n thuộc N*) . Mệnh đề nào sau đây đúng?

Đáp án A

Vì SA=SB=SD=a nên hình chiếu vuông góc của S trên (ABCD)  trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD. Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác  ABD⇒SH⊥(ABCD) Do tam giác ABD  cân tại   A⇒H∈AC Dễ dàng chứng minh được: ΔSBD=ΔABD(c.c.c)⇒SO=AO=AC2⇒ΔSAC vuông tại S (tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy)

 ⇒AC=SA2+SC2=a2+x2

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAC có   SH=SA.SCAC=axa2+x2

Ta có  OA=12AC=12a2+x2

⇒OB=AB2−OA2=a2−a2+x24=3a2−x22⇒BD=3a2−x2

 Do ABCD là hình thoi   ⇒SABCD=12AC.BD

Khi đó ta có:  VS.ABCD=13SH.SABCD=16.axa2+x2a2+x2.3a2−x2=16ax3a2−x2

Áp dụng BĐT Cosi ta có:  x3a2−x2≤x2+3a2−x22=3a22⇒VS.ABCD≤16a3a22=a34

Dấu “=” xảy ra  ⇔x2=3a2−x2⇔x=3a22=a62=amn⇒{m=6n=2⇒m+2n=10