Cho hình chóp S.ABCD có SC = x (0 < x < căn bậc hai 3 ), các cạnh còn lại đều bằng 1 (tham khảo hình vẽ). Biết rằng thể tích khối chóp S.ABCD lớn nhất khi và chỉ khi x = căn bậc hai của a /b
14/22
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SC = x\) \(\left( {0 < x < \sqrt 3 } \right)\), các cạnh còn lại đều bằng \(1\) (tham khảo hình vẽ). Biết rằng thể tích khối chóp \(S.ABCD\) lớn nhất khi và chỉ khi \(x = \frac{{\sqrt a }}{b}\) \(\left( {a,b \in {\mathbb{Z}^ + }} \right)\). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
\({a^2} - 2b < 30\).
\({a^2} - 8b = 20\).
\({b^2} - a < - 2\).
\(2a - 3{b^2} = - 1\).
a) Sai | b) Đúng | c) Sai | d) Sai |
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(S\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), vì \(SA = SB = SD\) nên \(H \in AO\) với \(O\) là trung điểm của \(BD\)
Ta xét hai tam giác \(SBD\) và \(ABD\) có cạnh \(BD\) chung, \(SB = AB\), \(SD = AD\) nên \(\Delta SBD = \Delta ABD\) suy ra \(AO = SO = OC\) do đó \(\Delta SAC\) vuông tại \(S\).
Ta có \(AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}\sqrt {1 + {x^2}} \) \( \Rightarrow BO = \frac{{\sqrt {3 - {x^2}} }}{2}\)\( \Rightarrow {S_{ABCD}} = \frac{{\sqrt {\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {3 - {x^2}} \right)} }}{2}\) \(\left( {0 < x < \sqrt 3 } \right)\)
Mặt khác \(SH = \frac{{SA.SC}}{{\sqrt {S{A^2} + S{C^2}} }}\)\( = \frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\)
Vậy \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SH.{S_{ABCD}}\)\( = \frac{{\sqrt {{x^2}\left( {3 - {x^2}} \right)} }}{6} \le \frac{1}{4}\).
Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) lớn nhất khi và chỉ khi\({x^2} = 3 - {x^2}\)\( \Leftrightarrow x = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\).
Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}a = 6\\b = 2\end{array} \right.\). Suy ra \({a^2} - 8b = 20\).