Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc (ABC)

6/22

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), \(SA = \frac{{3a}}{2}\), đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\). Tính số đo của góc nhị diện \(\left[ {S,BC,A} \right]\).

\(30^\circ \).

\(90^\circ \).

\(120^\circ \).

\(60^\circ \).

Giải thích

Chọn D

Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc (ABC) (ảnh 1)

Gọi \(D\) là trung điểm của \(BC\). Vì \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\) nên ta có \(AD \bot BC\) (1) và \(AD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\). Lại có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(SA \bot BC\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(BC \bot SD\) (3).

Từ (1) và (3) suy ra \(\widehat {SDA}\) là một góc phẳng của góc nhị diện \(\left[ {S,BC,A} \right]\).

\(\Delta SAD\) vuông tại \(A\) có \(\tan \widehat {SDA} = \frac{{SA}}{{AD}} = \frac{{3a}}{2}:\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \). Suy ra \(\widehat {SDA} = 60^\circ \).

Vậy số đo của góc nhị diện \(\left[ {S,BC,A} \right]\) là \(60^\circ \).