Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SA \bot (ABCD),SA = 3a,ABCD\) là hình vuông cạnh bằng a

Dựng \(Bx//AC \Rightarrow AC//(SBx)\)

Suy ra \(d(AC,SB) = d(AC,(SBx)) = d(A,(SBx))\)

Dựng và chứng minh được \(d(A,(SBx)) = AK\)

Ta có: \(\Delta AHB\) vuông cân tại \(H\) nên \(AH = \frac{{AB}}{{\sqrt 2 }} = \frac{a}{{\sqrt 2 }}\)

Ta có:

\(AK = \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{H^2}}}} }} = \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{{{(3a)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{a}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}}}} }} = \frac{{3\sqrt {19} }}{{19}}a\)

Vậy \(d(AC,SB) = \frac{{3\sqrt {19} }}{{19}}a\).