Cho hình chóp S.ABCD có mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt đáy (ABCD),tam

Phương pháp giải

Gọi I là trung điểm của AO. Kẻ \(HK \bot AI \Rightarrow d(H,(SAC)) = HK\).

Giải chi tiết

Ta có \(AC \bot BD,AC = a\sqrt 2 \)

Gọi M là trung điểm của AD và\(HM \cap AC = N.\)

Do  là tam giác đều nên \(SH \bot AB\) và \(SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)

Mà \((SAB) \bot (ABCD) \Rightarrow SH \bot (ABCD) \Rightarrow SH \bot AC\).

HN là đường trung bình của tam giác ABD nên \(HN\parallel BD \Rightarrow HN \bot AC\).

Suy ra \(HI = \frac{1}{2}HN = \frac{1}{4}AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{4}.\)

Vì \(SH \bot AC,HN \bot AC \Rightarrow (SHN) \bot AC\).

Kẻ \(HK \bot SI\) tại K.

Ta chứng minh được \(HK \bot SI,AC \Rightarrow HK \bot (SAC)\)tại K.

Suy ra: \(d(H,(SAC)) = HK.\)

Ta có: \(HK = \frac{{HS \cdot HI}}{{\sqrt {H{S^2} + H{I^2}} }} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2} \cdot \frac{{a\sqrt 2 }}{4}}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{4}} \right)}^2}} }} = \frac{{a\sqrt {21} }}{{14}}.\)

Đáp án cần chọn là: D.