Cho hình chóp S.ABCD có mặt bên (SAB) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng

98/235

Cho hình chóp S.ABCD có mặt bên \((SAB)\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, ABCD là hình chữ nhật với \(AB = a\), \(BC = 2a\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD là

\(\frac{2}{{\sqrt {17} }}a\)

\(\frac{1}{{\sqrt {17} }}a\)

\(\frac{1}{{2\sqrt {17} }}a\)

\(\frac{1}{{\sqrt {34} }}a\)

Giải thích

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp tọa độ hóa.

Giải chi tiết:

Gọi \(O\) là trung điểm AB. Khi đó, chọn trục Ox có chiều dương cùng chiều với tia AD,

trục Oy có chiều dương cùng chiều với tia OB, trục Oz có chiều dương cùng chiều với tia OS. Coi \(a = 1\).

Khi đó:

\[O(0;0;0),\;A\left( {0; - {\textstyle{1 \over 2}};0} \right),\;S\left( {0;0;{\textstyle{{\sqrt 3 } \over 2}}} \right),\;C\left( {2;{\textstyle{1 \over 2}};0} \right),\;D\left( {2; - {\textstyle{1 \over 2}};0} \right).\]

Suy ra:

\[\overrightarrow {AC} = (2;1;0),\quad \overrightarrow {SD} = \left( {2; - {\textstyle{1 \over 2}}; - {\textstyle{{\sqrt 3 } \over 2}}} \right),\quad \overrightarrow {DA} = (2;0;0).\]

Vậy:

\[d(AC,SD) = \frac{{\left| {[\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {SD} ] \cdot \overrightarrow {DA} } \right|}}{{\left\| {[\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {SD} ]} \right\|}} = \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt {51} /2}} = \frac{2}{{\sqrt {17} }} = \frac{2}{{\sqrt {17} }}a.\]

Đáp án: A