Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Chọn đường thẳng trung gian song song với một đường thẳng và cắt đường thẳng còn lại.

Lời giải

Gọi \(K\) là điểm thuộc cạnh \(BC\) sao cho \(\frac{{BK}}{{BC}} = \frac{1}{4}\).

Ta chứng minh được \(MK//CN\), do đó góc cần tính trở thành góc giữa \(SM\) và \(MK\).

Có \(SH = \frac{{3V}}{{{S_{ABCD}}}} = \frac{{3.\frac{{2{a^3}}}{3}}}{{{a^2}}} = 2a\)

Có \(MH = \frac{1}{2}BO = \frac{1}{2}.\frac{a}{{\sqrt 2 }} = \frac{a}{{2\sqrt 2 }}\)

Có \(KH = \frac{3}{4}AB = \frac{3}{4}a = \frac{{3a}}{4}\)

Có \(MK = \sqrt {B{M^2} + B{K^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{a}{4}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{4}\)

Có \(SM = \sqrt {S{H^2} + M{H^2}} = \sqrt {{{(2a)}^2} + {{\left( {\frac{a}{{2\sqrt 2 }}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {66} }}{4}\)

Có \(SK = \sqrt {S{H^2} + H{K^2}} = \sqrt {{{(2a)}^2} + {{\left( {\frac{{3a}}{4}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {73} }}{4}\)

Có \({\rm{cos}}\widehat {SMK} = \frac{{S{M^2} + M{K^2} - S{K^2}}}{{2SM.MK}} = \frac{{\frac{{66{a^2}}}{{16}} + \frac{{5{a^2}}}{{16}} - \frac{{73{a^2}}}{{16}}}}{{2.\frac{{a\sqrt {66} }}{4}.\frac{{a\sqrt 5 }}{4}}} = - \frac{1}{{\sqrt {330} }}\)

\( \Rightarrow \left( {SM,MK} \right) = {\rm{arccos}}\left( {\left| {\frac{{ - 1}}{{\sqrt {330} }}} \right|} \right) \approx {87^0}\).