Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm \(O\) cạnh \(a\).
Phương pháp giải Chọn đường thẳng trung gian song song với một đường thẳng và cắt đường thẳng còn lại.
Giải chi tiết:
Gọi \(K \in BC\) sao cho
\[\frac{{BK}}{{BC}} = \frac{1}{4}.\]
Ta chứng minh được \(MK\parallel CN\), do đó góc cần tìm là góc giữa SM và MK.
Diện tích đáy:
\[{S_{ABCD}} = {a^2}.\]
Chiều cao hình chóp:
\[SH = \frac{{3V}}{{{S_{ABCD}}}} = \frac{{3 \cdot \frac{{2{a^3}}}{3}}}{{{a^2}}} = 2a.\]
Ta có:
\[MH = \frac{1}{2}BO = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{{\sqrt 2 }} = \frac{a}{{2\sqrt 2 }}.\]
\[KH = \frac{3}{4}AB = \frac{3}{4}a.\]
\[MK = \sqrt {B{M^2} + B{K^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{a}{4}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{4}.\]
\[SM = \sqrt {S{H^2} + M{H^2}} = \sqrt {{{(2a)}^2} + {{\left( {\frac{a}{{2\sqrt 2 }}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {66} }}{4}.\]
\[SK = \sqrt {S{H^2} + K{H^2}} = \sqrt {{{(2a)}^2} + {{\left( {\frac{{3a}}{4}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {73} }}{4}.\]
Áp dụng định lý cosin trong tam giác $SMK$:
\[\cos \widehat {SMK} = \frac{{S{M^2} + M{K^2} - S{K^2}}}{{2SM \cdot MK}} = \frac{{\frac{{66{a^2}}}{{16}} + \frac{{5{a^2}}}{{16}} - \frac{{73{a^2}}}{{16}}}}{{2 \cdot \frac{{a\sqrt {66} }}{4} \cdot \frac{{a\sqrt 5 }}{4}}} = - \frac{1}{{\sqrt {330} }}.\]
Suy ra: