Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông. Lấy điểm E trên cạnh BC và điểm F trên cạnh CD sao cho góc EAF = 45 độ .

21/21

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông. Lấy điểm $E$ trên cạnh $BC$ và điểm $F$ trên cạnh $CD$ sao cho $\widehat {EAF} = 45^\circ $. Gọi $G$là điểm trên cạnh $SA$sao cho $FG{\rm{//}}\left( {SBC} \right)$. Xác định vị trí điểm $E$ sao cho $\frac{{AG}}{{SG}} = \frac{1}{2}$.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông. Lấy (ảnh 1)$

Gọi \[H\] là giao của \[AF\] và \[BC\] trong mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}GF \subset \left( {SAH} \right)\\GF{\rm{//}}\left( {SBC} \right)\\\left( {SAH} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SH\end{array} \right. \Rightarrow GF{\rm{//}}SH$.

Ta có $\widehat {EAF} = 45^\circ \Rightarrow \widehat {BAE} + \widehat {DAF} = 45^\circ \Rightarrow \tan \left( {\widehat {BAE} + \widehat {DAF}} \right) = \frac{{\tan \widehat {BAE} + \tan \widehat {DAF}}}{{1 - \tan \widehat {BAE} \cdot \tan \widehat {DAF}}} = 1$.

Không mất tính tổng quát, giả sử cạnh hình vuông $ABCD$ có độ dài là 1.

Đặt $BE = x \Rightarrow \tan \widehat {BAE} = x \Rightarrow \frac{{x + \tan \widehat {DAF}}}{{1 - x \cdot \tan \widehat {DAF}}} = 1 \Rightarrow \tan \widehat {DAF} = \frac{{1 - x}}{{1 + x}}$.

Mà $\tan \widehat {DAF} = DF \Rightarrow DF = \frac{{1 - x}}{{1 + x}} \Rightarrow CF = 1 - DF = \frac{{2x}}{{1 + x}}$.

Lại có $AD\,{\rm{//}}\,CH$ nên theo định lí Thalès, ta suy ra \[\frac{{AF}}{{HF}} = \frac{{DF}}{{CF}} = \frac{{1 - x}}{{2x}}\].

Mà $\frac{{AF}}{{HF}} = \frac{{AG}}{{SG}} = \frac{1}{2}$ (do $GF\,{\rm{//}}\,SH$) nên $\frac{{1 - x}}{{2x}} = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{1}{2}$.

Vậy E là trung điểm của BC.