Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnha, tam giác SAD đều và nằm trong

36/50

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), tam giác \(SAD\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi \(I\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {AC} \). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SI\) và \(AC\) là

\(\frac{{a\sqrt 5 }}{{10}}\).

\(\frac{{a\sqrt 5 }}{5}\).

\(\frac{{2a\sqrt 5 }}{5}\).

\(\frac{{a\sqrt 5 }}{{15}}\).

Giải thích

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AD\). Vì tam giác \(SAD\) đều cạnh \(a\) nên \(SH \bot AD\)và \(SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\). Do tam giác \(SAD\) nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Vì \(AC//BI\) nên \(AC//\left( {SBI} \right)\) suy ra \(d\left( {AC,SI} \right) = d\left( {AC,\left( {SBI} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBI} \right)} \right)\).

Gọi \(E\) là giao điểm của \(AD\) và \(BI\). Dễ thấy \(AE = AD\) nên \(\frac{{AE}}{{HE}} = \frac{2}{3}\).

Lại có \(\frac{{d\left( {A,\left( {SBI} \right)} \right)}}{{d\left( {H,\left( {SBI} \right)} \right)}} = \frac{{AE}}{{HE}} = \frac{2}{3}\). Từ đó suy ra \(d\left( {AC,SI} \right) = \frac{2}{3}d\left( {H,\left( {SBI} \right)} \right)\).

Kẻ \(HP \bot BI{\rm{ }}\left( {P \in BI} \right)\), \(HQ \bot SP{\rm{ }}\left( {Q \in SP} \right)\). Khi đó \(d\left( {H,\left( {SBI} \right)} \right) = HQ\).

Ta có \(HP = \frac{3}{4}BD = \frac{{3a\sqrt 2 }}{4}\).

Từ đó ta có \(\frac{1}{{H{Q^2}}} = \frac{1}{{H{P^2}}} + \frac{1}{{S{H^2}}} = \frac{8}{{9{a^2}}} + \frac{4}{{3{a^2}}} = \frac{{20}}{{9{a^2}}} \Rightarrow HQ = \frac{{3a\sqrt 5 }}{{10}}\).

Vậy \(d\left( {AC,SI} \right) = \frac{2}{3}.\frac{{3a\sqrt 5 }}{{10}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{5}\).