Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc (ABCD) và SA = a căn bậc hai của 3. Gọi alpha là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC). Khẳng định nào sau đây là đúng?

22/78

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh $a$, $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ và $S A = a \sqrt{3}$ . Gọi $\alpha $ là góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

$\cos \alpha = \frac{{\sqrt 2 }}{4}$.

$\cos \alpha = \frac{{\sqrt 2 }}{8}$.

$\sin \alpha = \frac{{\sqrt 2 }}{8}$.

$\sin \alpha = \frac{{\sqrt 2 }}{4}$.

Giải thích

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc (ABCD) và SA = a căn bậc hai của 3. Gọi alpha là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC). Khẳng định nào sau đây là đúng? (ảnh 1)

Gọi $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$.

Vì ABCD là hình vuông nên BO ^ AC mà SA ^ (ABCD) Þ SA ^ BO.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}BO \bot AC\\BO \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BO \bot (SAC)$.

Suy ra \[SO\] là hình chiếu vuông góc của \[SB\] lên mặt phẳng \[\left( {SAC} \right)\].

Khi đó góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ chính là $\widehat {BSO}$.

Do ABCD là hình vuông cạnh a nên $BD = a\sqrt 2 $$ \Rightarrow BO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

Xét DSAB vuông tại A, có $SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = \sqrt {3{a^2} + {a^2}} = 2a$.

Xét $\Delta SBO$ vuông tại $O$, ta có:$\sin \widehat {BSO} = \frac{{BO}}{{SB}} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}$.