Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc (ABCD) và \[SA = a căn bậc hai 3 \]

43/235

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh $a$, $SA \bot (ABCD)$ và \[SA = a\sqrt 3 \]

Tính khoảng cách từ $D$ đến mặt phẳng $(SBC)$.

$\frac{{2a\sqrt 5 }}{5}$

$a\sqrt 3 $

$\frac{a}{2}$

$\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Giải thích

Phương pháp giải

Tìm khoảng cách thông qua điểm A.

Giải chi tiết:

$Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh $a$, $SA vuông góc (ABCD)$ và \[SA = a căn bậc hai 3 \] (ảnh 1)$

Vì $BC \bot SA$ và $BC \bot AB$ nên:

\[BC \bot (SAB) \Rightarrow (SBC) \bot (SAB)\]

Kẻ $AH \bot SB$ thì:

\[AH \bot (SBC)\]

Do $AD\parallel BC$ nên:

\[d(D,(SBC)) = d(A,(SBC)) = AH\]

\[AH = \frac{{SA \cdot AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = \frac{{a\sqrt 3 \cdot a}}{{\sqrt {3{a^2} + {a^2}} }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\]

Mở rộng:

Công thức tổng quát: Khoảng cách từ điểm $M\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)$ đến mặt phẳng $\left( {Ax + By + Cz + D = 0} \right):$

$d = \frac{{\left| {A{x_0}{\rm{ + }}B{y_0}{\rm{ + }}C{z_0}{\rm{ + }}D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}$

Với hình chóp, thường phải dựng đường vuông góc từ điểm đến mặt phẳng rồi áp dụng công thức khoảng cách.