Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,SA vuông góc ABCD). Biết góc giữa \(SC\) và mặt phẳng \((ABC) là 60 độ. Góc phẳng nhị diện [S,BD,C] là bao nhiêu độ (kết quả làm tròn đến hàng

Hướng dẫn giải

Trả lời: 106

Ta có: \(SA \bot (ABCD)\) tại \(A\) \( \Rightarrow AC\) là hình chiếu của \(SC\) trên mp \((ABCD)\)

\( \Rightarrow (SC,(ABCD)) = (SC,AC) = \widehat {SCA} = 60^\circ \).

Ta có: \(SA = AC \cdot \tan 60^\circ  = a\sqrt 2  \cdot \sqrt 3  = \sqrt 6 a\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BD \bot SA}\\{BD \bot AC}\end{array} \Rightarrow BD \bot (SAC)} \right.\)

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(SBD) \cap (CBD) = BD}\\{{\mathop{\rm Trong}\nolimits} \,(CBD),CO \bot BD \Rightarrow [S,BD,C] = \widehat {SOC}}\\{{\mathop{\rm Trong}\nolimits} \,(SBC),SO \bot BD}\end{array}} \right.\)

Xét \(\Delta SAO\) vuông tại \(A:\tan \widehat {SOA} = \frac{{SA}}{{AO}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}} = 2\sqrt 3  \Rightarrow \widehat {SOA} \approx 74^\circ \)\( \Rightarrow \widehat {SOC} \approx 106^\circ \).