Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy là hình vuông cạnh \[a,{\rm{ }}SA\] vuông góc với đáy, \[SC\] tạo với mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) một góc

Do \[ABCD\] là hình vuông cạnh \(a\) nên \({S_{ABCD}} = {a^2}.\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\)

Khi đó, \(\left( {\widehat {SC,\,\,\left( {SAB} \right)}} \right) = \widehat {CSB} = 30^\circ .\)

Đặt \(SA = x \Rightarrow SB = \sqrt {{x^2} + {a^2}} .\)

Tam giác \[SBC\] vuông tại \(B\) nên \(\tan \widehat {CSA} = \tan 30^\circ  = \frac{1}{{\sqrt 3 }} = \frac{{BC}}{{SB}}\)

Ta được \(SB = BC\sqrt 3  \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + {a^2}}  = a\sqrt 3  \Rightarrow x = a\sqrt 2 .\)

Vậy \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot SA \cdot {S_{ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot a\sqrt 2  \cdot {a^2} = \frac{{\sqrt 2 {a^2}}}{3}\) (đvtt). Chọn B.