Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy

25/235

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên \(SAD\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(SB,BC,CD\). Thể tích của khối tứ diện \(CMNP\) là

\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{32}}\)

\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{36}}\).

\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{96}}\).

\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{72}}\).

Giải thích

Đáp án

\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{96}}\).

Giải thích

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ảnh 1)

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AD\). Do \(\Delta SAD\) đều nên \(SH \bot AD\).

Do \(\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\)

Dựng đường thẳng Az vuông góc với \(\left( {ABCD} \right)\), ta có\(AD,AB,Az\) là ba tia đôi một vuông góc nhau. Chọn hệ trục \(Oxyz\) như hình vẽ (\(O \equiv A\)).

Không mất tính tổng quát, chọn \(a = 1\). Ta có:

\(A\left( {0;0;0} \right),S\left( {\frac{1}{2};0;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right),M\left( {\frac{1}{4};\frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{4}} \right),B\left( {0;1;0} \right),P\left( {1;\frac{1}{2};0} \right),C\left( {1;1;0} \right),N\left( {\frac{1}{2};1;0} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {CP} = \left( {0; - \frac{1}{2};0} \right),\overrightarrow {CN} = \left( { - \frac{1}{2};0;0} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {CP} ,\overrightarrow {CN} } \right] = \left( {0;0; - \frac{1}{4}} \right)\) và \(\overrightarrow {CM} = \left( { - \frac{3}{4}; - \frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{4}} \right)\)

Nên \({V_{CMNP}} = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {CP} ,\overrightarrow {CN} } \right].\overrightarrow {CM} } \right| = \frac{{\sqrt 3 }}{{96}}\).