Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = a\). Khi đó:

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

b) Đúng

 

a) Ta có: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{CD \bot AD}\\{CD \bot SA({\rm{ do }}SA \bot (ABCD))}\end{array} \Rightarrow CD \bot (SAD) \Rightarrow CD \bot SD} \right.\].

\(\begin{array}{l}{\rm{ Khi d\'o : }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(SCD) \cap (ABCD) = CD}\\{AD \bot CD,SD \bot CD}\\{AD \subset (ABCD),SD \subset (SCD)}\end{array}} \right.\\ \Rightarrow ((SCD),(ABCD)) = (SD,AD) = \widehat {SDA}.\end{array}\)

Tam giác \(SAD\) vuông tại \(A\) có: tanSDA^=SAAD=aa=1⇒SDA^=45°

Vậy ((SCD),(ABCD))=SDA^=45°. 

b) Gọi \(O\) là tâm hình vuông \(ABCD\).

\(\begin{array}{l}{\rm{ Ta co\`u : }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BD \bot AC{\rm{ (hai \~n \"o \^o {\o}ng che\`u o trong h\`i nh vuo\^a ng) }}}\\{BD \bot SA({\rm{ do }}SA \bot (ABCD))}\end{array}} \right.\\ \Rightarrow BD \bot (SAC) \Rightarrow BD \bot SO.\end{array}\)

Khi đó \({\rm{ }}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{(SBD) \cap (ABCD) = BD}\\{OA \bot BD,SO \bot BD}\\{OA \subset (ABCD),SO \subset (SBD)}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow ((SBD),(ABCD)) = (SO,OA) = \widehat {SOA}\)

Hình vuông \(ABCD\) có đường chéo \(AC = a\sqrt 2  \Rightarrow OA = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Tam giác \(SAO\) vuông tại \(A\) có: tanSOA^=SAOA=aa22=2⇒SOA^≈54,74°

Vậy ((SBD),(ABCD))=SOA^≈54,74°. 

c) Theo câu b) thì \(BD \bot (SAC)\), mà \(BD \subset (SBD)\) nên \((SBD) \bot (SAC)\).