Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD, cạnh đáy và các cạnh bên đều bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD. Giá trị của tích vô hướng

Vì \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AD\) và \(SD\) nên \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(SAD\).

Do đó \(\overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AS} \).

Tích vô hướng cần tính: \(\overrightarrow {MN} \cdot \overrightarrow {SC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AS} \cdot \overrightarrow {SC} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {SA} \cdot \overrightarrow {SC} \).

Ta có công thức: \(\overrightarrow {SA} \cdot \overrightarrow {SC} = SA \cdot SC \cdot \cos \widehat {ASC} = SA \cdot SC \cdot \frac{{S{A^2} + S{C^2} - A{C^2}}}{{2SA \cdot SC}} = \frac{{S{A^2} + S{C^2} - A{C^2}}}{2}\).

Biết rằng \(SA = SC = a\). Đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\) nên đường chéo \(AC = a\sqrt 2 \).

Thay vào ta được: \(\overrightarrow {SA} \cdot \overrightarrow {SC} = \frac{{{a^2} + {a^2} - {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}}{2} = \frac{{2{a^2} - 2{a^2}}}{2} = 0\).

Vậy \(\overrightarrow {MN} \cdot \overrightarrow {SC} = 0\).

Đáp số: 0.