Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng 2, SA vuông góc với (ABCD) và SA = 4. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Đáp án: 1,2

Gọi \(O\) là tâm hình vuông. Kẻ \(OK \bot SC\) tại điểm \(K\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SA\\AC \cap SA = \left\{ A \right\}\\AC,SA \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)\) mà \(SC \subset \left( {SAC} \right)\) nên \(BD \bot SC\).

Mặt khác, ta có \(BD \bot \left( {SAC} \right),\,\,OK \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot OK\).

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}OK \bot BD\\OK \bot SC\end{array} \right. \Rightarrow d\left( {BD,SC} \right) = OK\).

Xét tam giác \(SAC\) và tam giác \(OKC\) có \(\widehat {SAC} = \widehat {OKC} = 90^\circ \), chung \(\widehat {SCA}\)

 nên \(\frac{{SA}}{{OK}} = \frac{{SC}}{{OC}}\).

Vì tứ giác \(ABCD\) là hình vuông nên \(AC = 2\sqrt 2 \). Khi đó \(OC = \frac{1}{2}AC = \sqrt 2 \).

Xét tam giác \(SAC\) vuông tại \(A\) nên \(SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}}  = 2\sqrt 6 \).

Do đó \(\frac{{SA}}{{OK}} = \frac{{SC}}{{OC}} \Rightarrow \frac{4}{{OK}} = \frac{{2\sqrt 6 }}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow OK = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\).

Vậy \(d\left( {BD,SC} \right) = OK = \frac{{2\sqrt 3 }}{3} \approx 1,2\).