Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a, Biết SA = 2a và tạo với mặt phẳng đáy một góc BAD = 135 độ. Gọi I là trung điểm của SO, (P) là mặt phẳng đi qua BI

Giải chi tiết:

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) cắt \(SA,SC,SD\) lần lượt tại \(M,N,P.\)

Do \((P)\parallel AC \Rightarrow MN\parallel AC\)mà \(I\) là trung điểm của \(SO\) nên \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(SA,SC.\)

Gọi \(K\) là trung điểm \(P.\)

Xét tam giác \(BPD\) có \(O,K\) lần lượt là trung điểm \(DB,DP\) nên \(OK\parallel BP.\)

Xét tam giác \(SOK\) có I là trung điểm SO, mà \(IP\parallel OK\)nên \(P\) là trung điểm \(SK \Rightarrow SP = PK = KO.\)

Có \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{{V_{SBNP}}}}{{{V_{SBCD}}}} = \frac{{SB}}{{SB}} \cdot \frac{{SN}}{{SC}} \cdot \frac{{SP}}{{SD}} = 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}}\\{\frac{{{V_{SBMP}}}}{{{V_{SBAD}}}} = \frac{{SB}}{{SB}} \cdot \frac{{SM}}{{SA}} \cdot \frac{{SP}}{{SD}} = 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}}\end{array}} \right. \Rightarrow \frac{{{V_{SBNPM}}}}{{{V_{SABCD}}}} = \frac{1}{6}\]

Chiều cao của hình chóp:

$h=SA\cdot \sin (SA,(ABCD\left)\right)=2a\cdot \sin {60}^{°}=a\sqrt{3}$

$\Rightarrow V_{SABCD}=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot a\cdot a\cdot \sin {135}^{°}\cdot a\sqrt{3}=\frac{a^3\sqrt{6}}{6}$

\( \Rightarrow {V_{SBNPM}} = \frac{{{V_{SABCD}}}}{6} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{36}} \Rightarrow \frac{n}{{{m^2}}} = \frac{{36}}{{{6^2}}} = 1\)

Đáp án: \(1.\)