Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh bằng 2

19/22

Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy là hình thoi cạnh bằng \[2,\] góc \(\widehat {ABC} = 60^\circ \) và cạnh bên \[SA\] vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi \[M,N\] lần lượt là trung điềm \[SB,SD.\] Biết số đo góc nhị điện \[\left[ {M,AC,N} \right]\] bằng \[120^\circ .\] Khoảng cách từ điểm \[C\] đến mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần chục)?

Giải thích

Đáp án: 0,7.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh bằng 2 (ảnh 1)

Gọi \(H,K\) lần lượt là trung điểm của \(AB,AD;E = HK \cap AC;O = AC \cap BD.\)

Ta có: \(\Delta MHE = \Delta NKE \Rightarrow \widehat {MEH} = \widehat {NEK} = \frac{{180^\circ - \widehat {MEN}}}{2} = 30^\circ \)

\(\widehat {ABC} = 60^\circ \Rightarrow \Delta ABC\) đều.

Suy ra \(HE = \frac{1}{2}BO = \frac{1}{2}.\frac{{2.\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow MH = HE.\tan \widehat {MEH} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\tan 30^\circ = \frac{1}{2}.\)

Suy ra \(SA = 2MH = 2.\frac{1}{2} = 1 = AO \Rightarrow \Delta SAO\) vuông cân tại \(A.\)

Ta có: \(AC \cap (SBD) = O\) là trung điểm của \(AC\) nên \(d(C,(SBD)) = d(A,(SBD))\)

Kẻ \(AI \bot SO\). Khi đó:

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SA\end{array} \right\} \Rightarrow BD \bot (SAC)\\ & & AI \subset (SAC)\end{array} \right\} \Rightarrow BD \bot AI \Rightarrow AI \bot (SBD)\\ \Rightarrow d(C,(SBD)) = AI = \frac{1}{2}SO = \frac{1}{2}\sqrt {S{A^2} + A{O^2}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \approx 0,7.\end{array}\)